« Вычисление коэффициента вариации | Main
August 21, 2006
Ковариация, корреляция и вычисление дисперсии портфеля
Итак, перейдем к вычислению средней доходности, дисперсии и стандартного отклонения для портфеля акций, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций В. Мы предполагаем, что доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины R A и RB.
Среднее значение доходности акции А равно 10%, со стандартным отклонением 8,66%. Среднее значение доходности акции В равно 15%, со стандартным отклонением 12%.
Теперь нас интересует, каково будет среднее значение доходности портфеля и стандартное отклонение для портфеля. Вопрос средней доходности портфеля решается просто. А вот стандартное отклонение - показатель уровня изменчивости доходности портфеля, не отражает средней изменчивости доходности его компонентов (акций). Причина в том, что диверсификация снижает изменчивость, так как цены различных акций изменяются неодинаково. Во многих случаях снижение стоимости одной акции компенсируется ростом цены на другую.
Ожидаемая доходность нашего портфеля равна средневзвешенной ожидаемых значений доходностей отдельных акций:
r = 0,6*rA + 0,4*rB
r = 0,6*10% + 0,4*15% = 12%
Для того, чтобы найти дисперсию σ² и стандартное отклонение σ доходности портфеля, мы должны знать значения ковариации акций А и В. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Общая формула вычисления ковариации:
σ12 = E(RA - rA)(RB - rB)
Из формулы видно, что ковариация любой акции с ней самой σ11 равна ее дисперсии σ1².
В задачах, значение ковариации двух активов будет дано. Или, вместо нее будет дано значение коэффициента корреляции - безразмерной величины, которая стандартизует ковариацию для облегчения сравнения, и принимает значения от -1 до 1. Пусть нам дано, что коэффициент корреляции акций А и В равен 0,7.
Формула коэффициента корреляции:
ρ12 = σ12/σ1σ2
В большинстве случаев, изменение акций происходит в одном направлении. В этом случае коэффициент корреляции ρ12 и, соответственно, ковариация σ12, положительны. Если акции изменяются соверженно не связанно, тогда коэффициент корреляции и ковариация равны нулю. Если акции изменяются в противоположных направляения - коэффициент корреляции и ковариация отрицательны.
Для нахождения дисперсии портфеля, нам надо заполнить матрицу, в ячейке (i; j) которой находятся значения (XiXj σij ), где Xi - доля акции i в портфеле.
Эта матрица очень похожа на матрицу ковариаций. В матрице ковариаций в ячейке (i; j) расположены значения (σij )
Заполнив матрицу, надо просто сложить полученные в ней величины и найдем дисперсию портфеля:
σ² = X1² σ1² + X2² σ2² + 2(X1X2 ρ12 σ1σ2)
или в общем случае для N акций:
Вычислим дисперсию портфеля:
σ² = 0,6² * 8,66² + 0,4² *12² + 2*( 0,6 * 0,4 * 0,7 * 8,66 * 12) = 84,96
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то есть:
σ = √84,96 = 9,22
Легко подсчитать, что только в том случае, если коэффициент корреляции двух акций равен +1, то стандартное отклонение портфеля равно средневзвешенному стандартных отклонений доходности отдельных акций σ = X1 σ1 + X2 σ2. Если же коэффициент корреляции равен -1, то стандартное отклонение портфеля равно
σ = x1 σ1 - X2 σ2 и можно было бы добиться, изменяя пропорции X1 и X2 акций в портфеле, чтобы стандартное отклонение портфеля было равно нулю. К сожалению, в реальности, отрицательная корреляция акций практически не встречается.
Technorati Tags: variance correlation variance covariance Standard Deviation covariance matrix
Posted by mazoo at August 21, 2006 12:43 PM
