« December 2004 | Main | February 2005 »

January 25, 2005

Кейнсианский крест, эффект мультипликатора

gdp1.jpg1. Рассмотрим модель закрытой экономики (чистый экспорт равен нулю) без государственного сектора. Тогда совокупный спрос AD = C + I - сумма потребления и инвестиций. Кейнс предположил, что потребление есть функция располагаемого дохода Y: C(Y) = C0 + cY, где с - предельная склонность к потреблению (marginal propensity to consume), 0 < c < 1, C0 - автономное потребление - константа, не зависит от уровня дохода. Также предположим, что инвестиции являются константой I = I0. Тогда
AD(Y) = C0 + I0 + cY.
Обозначим C0 + I0 = A0.

2. Определим равновесный доход Y* как доход, уравновешивающий совокупный спрос AD(Y) и совокупный выпуск AS=Y:
Y* = AD (Y*), таким образом получаем
Y* = A0/(1-c)
Графический изображение равновесного дохода смотрим на верхнем графике, который называется "Кейнсианский крест".

3. Из каждой дополнительной единицы дохода Y , на потребление идет доля с < 1. Остальное идет на сбережения S = Y - C. Таким образом,

S(Y) = -C0 + (1 - c)Y , в случае равновесного дохода имеем:
S(Y*) = -C0 + (1 - c)A0/(1-c) = I0, то есть сбережения равны инвестициям.

Графическую интерпретацию можно увидеть на нижнем графике.

4. Мультипликаторы.
а) Закрытая экономика без госсектора: AD(Y) = C0 + I0 + cY,
Y* = (1/(1-c)) *(C0 + I0), следовательно, изменив C0 или I0 на величину х, Y* изменится на величину (1/(1-c))*х. Выражение (1/(1-c)) - мультипликатор, и показывает, на какую величину изменится равновесный доход при изменении инвестиций или автономного спроса на 1.

б) Экономика с государственным сектором: AD(Y) = C0 + I0 + G0+ c(Y - Tax), где G0 - величина госзакупок, Tax - величина налогов на доходы (рассматриваем только паушальные - не зависящие от уровня доходы, налоги). Разрешив данное равенство для Y* , получим:

gdp2.jpg

Таким образом, при изменении налогов, для нахождения изменения равновесного дохода применяем мультипликатор (-с/(1-c)). При изменении госсакупок применяем стандартный мультипликатор.

в) мультипликатор сбалансированного бюджета: правительство хочет стимулировать экономику путем увеличения госзакупок, но средства на госзакупки получить из налогов, то есть:
gdp3.jpg
Следовательно:
gdp4.jpg

Таким образом, мультипликатор сбалансированного бюджета равен 1.

P.S.
GDP (gross domestic product) или ВВП (валовый внутренний продукт) - общая рыночная стоимость всех конечных продуктов и услуг, произведенных внутри границы одной страны от национальных и зарубежных источников инвестиций за период времени (год).

Затратный подход к определению ВВП (expenditure approach) состоит в определении GDP как суммы всех расходов на персональное потребление, общие частные внутренние инвестиции, правительственные расходы и чистый экпорт. GDP = C + I + G + NE

Таким образом, вышеизложенные рассуждения в полной мере применяются к GDP, равно как и к совокупному спросу AD.

Posted by mazoo at 5:12 PM | Comments (0)




January 19, 2005

График кривой обучения (learning curve)

Кривая обучения (learning curve) отражает увеличивающуюся производительность при выполнении задач с увеличением опыта. Пусть задачей является выпуск продукции.

Стандартное предположение состоит в том, что интегральное среднее время на единицу выпуска (cumulative average time per unit), то есть среднее по совокупности единиц продукции, уменьшается на определенное количество процентов каждый раз при удвоении объема выпуска.

Рассмотрим 75% -ную модель со следующими исходными данными:

Объем выпуска (нарастающим итогом)Cumulative average time per unit - время на единицуИтого - общее время на выпуск
80564 480
16042 (56*0,75)6 720
32031,5 (42*0,75)10 080
64023,625 (31,5*0,75)15 120


Для выпуска 80 единиц продукции по 56 часов на единицу потребовалось 4 480 часов, а для выпуска 160 единиц по 42 часа потребовалось 6 720 часов. Таким образом на производство дополнительных 80 единиц (от 81 до 100) потребовалось 2 240 часов, то есть в среднем 2 240/80 = 28 часов на единицу. Следовательно, также, признаком данной модели о кривых обучения (learning curve model) является то, что incremental unit time (время на производство дополнительной единицы продукции) уменьшается при удвоении выпуска. Судя по тестовым вопросам, существуют модели кривой обучения, в которых начальным предположением является уменьшение на определенный процент именно добавочного времени - их надо решать аналогично нашей модели, где уменьшается интегральное среднее время.

Из приведенной выше таблицы получаем формулу кривой обучения - зависимость общего времени на выпуск от количества выпущенной продукции:

F(x) = 0.75^( ln(x/80) /ln (2) ) * 56 * x, где

0,75 - процентная ставка кривой обучения;
80 - величина начальной партии продукции;
ln(x/80) /ln (2) - преобразованный для удобства вычисления логарифм (x/80) по основанию 2 , который является выражением для степени 0,75 для соответствующего выпуска (например, для 320 этот логарифм равен 2, что мы и видим в таблице);
56 - начальное время на единицу продукции.

Итого получаем следующий график:
Learning-curve.gif

Posted by mazoo at 5:06 PM | Comments (0)

January 18, 2005

Пример задачки на симплекс-метод

Рассмотрим простой пример решения задачки с помощью симплекс-метода для запоминания последовательности действий.

Некая компания производит большие и маленькие садовые скамейки. Каждая скамейка должна быть построена и отполирована. На постройку маленькой скамейки уходит 2 часа, на полировку 3 часа. На постройку большой уходит 4 часа, на полировку 3 часа. Строительный цех работает 100 часов в неделю, а полировочный 90. Прибыль, получаемая с маленькой скамейки составляет 5$, а с большой 7$. Сколько скамеек каждого вида должна производить компания для максимизации прибыли?

Пусть фирма производит X маленьких и Y больших скамеек. Тогда для решения задачи необходимо найти такие X и Y, что:

5X + 7Y - > max
2X + 4Y < = 100
3X + 3Y < = 90,
X , Y > = 0

Введем переменные S1, S2 >= 0, тогда задача примет стандартный (канонический) вид:
5X + 7Y +0S1 + 0S2 - > max
2X + 4Y +1S1 + 0S2 = 100
3X + 3Y +0S1 + 1S2 = 90,
X , Y, S1, S2 > = 0

Рассмотрим решение этой задачи, используя симплекс таблицу. Данное решение подходит для всех случаев, когда правая часть уравнений ограничений неотрицательна (90 и 100 в нашем примере). Если правая честь уравнений ограничений, после приведения задачи к каноническому виду, содержит отрицательные числа, то используйте вариант решения, разобранный во втором примере.

Составим симплекс-таблицу:
Simplex.jpg

1 шаг: В строке Cj выписываем коэффициенты целевой функции при переменных X, Y, S1, S2. В строках 1,2 - коэффициенты при соответсвующих переменных из уравнений ограничений. RHS (столбец right hand side :-) ) , в строках 1, 2 пишем числа 100 и 90 из правой части неравенств ограничений. Переменные, образующие единичную матрицу будем называть базисными, в данном случае S1 и S2.

2 шаг: Заполняем столбец CB строки 1, 2 коэффициентами целевой функции при базисных переменных, то есть 0 при S1 в строке 1 (пересечение строки 1 и столбца S1) и 0 при S2 в строке 2.


3 шаг: заполняем строку 3 (Zj) путем перемножения каждого элемента столбца CB на соответствующие элементы строк 1, 2 и сложением. То есть первый элемент строки Zj получается как: 0*2 + 0*3 = 0. В данном случае все элементы строки получаются равными 0. Аналогично получается 0 в столбце RHS.

4 шаг: строка 4 (Cj - Zj) получается почленным вычитанием элементов строки 3 (Zj) из элементов строки Cj (всегда из верхней строки на всех шагах).

5 шаг: Ищем в строке 4 (Cj - Zj) МАКСИМАЛЬНЫЙ СТРОГОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ элемент. Ему соответствует ведущий стролбец. В данном случае, в строке 4 выбираем элемент 7, следовательно ведущим будет столбец Y (строки 1,2).

6 шаг: Ищем в ведущем столбце МИНИМАЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число из формулы (RHS/ведущий столбец). То есть, в данном случае, выбираем между 100/4=25 и 90/3=30. Найдя такое число, определяем ведущую строку, у нас строка 1. Пересечение ведущих столбца и строки дает нам ведущий элемент, в нашем случае 4.

7 шаг: Формируем строки 5, 6 путем деления ведущей строки на ведущий элемент и формирования единичного столбца на месте ведущего). Не забываем RHS. Далее следуем на шаг 2.

Итерации продолжаются до тех пор, пока в строке (Cj - Zj) не останется положительных элементов (в случае, что оптимальное решение задачи существует).

Тогда в строке Zj (у нас строка 11) в RHS - столбце получим значение целевой функции в оптимальной точке (X, Y) = (10, 20). Значения 10 и 20 получаем из RHS в строках 9, 10.

Posted by mazoo at 5:32 PM | Comments (52)

January 12, 2005

Найди десять отличий


Efficiency-Эффективность

Эффективность – результативность деятельности, мероприятий и программ, характеризуемая отношением полученного экономического эффекта, результата к затратам факторов, ресурсов, обусловившим получение этого результата.

Effectiveness - Результативность

Результативность – степень достижения цели управления, ожидаемого состояния объекта управления. Результативность определяется значениями выходных показателей объекта управления.

А ведь в книжке эти понятия различают :-)

Posted by mazoo at 5:33 PM | Comments (2)

January 11, 2005

Эффекты выпуска и замены

Пусть ресурсы являются заменяемыми (substitutes) и цена одного ресурса (input 1) изменилась. Как изменится спрос на второй ресурс (input 2)?

В моей Gleim - книжке дается только результирующая табличка:

Цена заменителя input1(Price of substitute)ЭЗ v ЭВ (SE v OE)Спрос на input2(Demand)
растетSE > OEрастет
растетSE < OEпадает
падаетSE > OEпадает
падаетSE < OEрастет

где ЭЗ - эффект замены (SE - substitution effect), ЭВ - эффект выпуска (OE - output effect).

Данные выводы нагляднее всего показать графически.

SEOE1.jpg

Изокосты 1 и 3 показывают все возможные сочетания факторов производства input 1 и input 2, которые обходятся в суммы C1 и C2 (не помечены) соответственно. Изокванты 2 и 4 показывают технологическое ограничение фирмы - то есть все комбинации input1 и input2, дающие одинаковый выпуск Y1 и Y2 (не помечены на изоквантах) соответственно.

SEOE2.jpg

При увеличении цены фактора input1, изокоста 1 переходит в изокосту 3, соответственно при новом распределении между количествами input1 и input2 эффект замены для input2 равен SE (пунктирная линия параллельна изокосте 3, "замена" - перемещение из начальной точки (I1_1,I2_1) в точку x). Эффект выпуска равен OE и зависит от точки касания новой изокванты 4 к изокосте 3. Таким образом из рис.1 видно, что при OE > SE спрос на input2 станет I2_2 < I2_1, то есть уменьшится. Аналогично при OE < SE (рис.2) спрос на input2 увеличится.

Posted by mazoo at 6:19 PM | Comments (0)