Учебный блог Mazoo

« February 2005 | Main | April 2005 »

March 29, 2005

Что такое "кривая обучения" (learning curve)

Данная статья отвечает на вопросы, возникшие к предыдущей статье о кривых обучения.

Кривая обучения (learning curve) является графическим представлением модели, которая описывает зависимость производительности труда от объема выпуска.
В основе этой модели лежит предположение, что при совершении повторяющихся действий продуктивность повышается неким постоянным и предсказуемым образом, каждый раз, когда количество выпуска удваивается. Чаще всего модели кривой обучения рассматриваются в контексте продуктивности (производительности) труда, которую можно измерить как количество выпущенной продукции в единицу времени.

Таким образом, кривая обучения (learning curve) -- это функция, показывающая, как с увеличением выпуска уменьшается количество часов, требующихся для производства единицы продукции.

Для описания характера снижения трудозатрат на единицу продукции в зависимости от объема выпуска существуют используют следующие модели:

Первая модель:
1. Интегральное среднее время на единицу выпуска (cumulative average time per unit) уменьшается на определенный процент каждый раз, когда выпуск удваивается.
Если требуется 100 часов, чтобы произвести 1 деталь, тогда (для 80% кривой обучения) интегральное среднее время на единицу выпуска для производства двух деталей будет 100-20%=80 часов. Следовательно, общее время на производство 2 (двух) деталей будет 80*2=160 часов. Таким образом, на производство второй детали было затрачено только 160-100=60 часов.

Пример 1:
Объем выпуска         Общие затраты на труд
10                                $120
20                                $192

Найдем ставку кривой обучения:

Continue reading "Что такое "кривая обучения" (learning curve)"

Posted by mazoo at 4:35 PM | Comments (4)

March 26, 2005

Простая Линейная Регрессия, Часть 2

Первая Часть

В Части 1, мы получили уравнение линейной регрессии для следующей задачи:

Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предшествующие годы была собрана следующая статистика.

Мы получили уравнение линейной регрессии:

y = f(x) = 4.2 + 0.31x

Пусть y' есть среднее арифметическое результатов наблюдений, т.е.

y' = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅)/5

1. Оценка дисперсии случайной ошибки (оценка дисперсии годового объема продаж) S² равна:

где n = 5 число наблюдений, k = 1 число независимых переменных в модели линейной регрессии (у нас только x).
n-k-1 называют количеством степеней свободы.

Получаем S² = 2.624

Величину S называют стандартной ошибкой регрессии, она равно квадратному корню из величины S². В нашем примере, стандартная ошибка регрессии
S = 1.62

2. Дисперсия регрессионного коэффициента a равна Sa²:

Sa² = 6.216

Sa - стандартная ошибка регрессионного коэффициента a равна квадратному корню из дисперсии a , то есть
Sa = 2.49

3. Дисперсия регрессионного коэффициента b равна Sb²:

Sb² = 0.002332

Sb - стандартная ошибка регрессионного коэффициента b равна квадратному корню из дисперсии b , то есть
Sb = 0.0483

4. Коэффициент детерминации r²:

r² = 0.9328

r - коэффициент корреляции, r = 0.9658

Коэффициент корреляции показывает силу линейной зависимости между зависимой переменной х и независимой переменной у. Значение r=1 (-1) свидетельствует о прямой (обратной) линейной зависимости между x и y. Коэффициент корреляции r = 0 свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между переменными.

Коэффициент детерминации r² интерпретируется как процент дисперсии зависимой переменной y, объясненный дисперсией независимой переменной x. То есть дисперсия годовых продаж равна 93.28% от дисперсии годовых расходов на рекламу.

5. Доверительный интервал для значений параметра b (совершенно аналогично для других параметров):

Если мы хотим построить 90%-ный доверительный интервал для b, нам нужно табличное t- значение статистики Стьюдента (t - критерий Стьюдента):
t_{(5-1-1,(1-0.90)/2)} = t_{(3 , 0.05)} =2.35

Таким образом, фирма может быть на 90% уверена, что значение параметра b будет в пределах доверительных границ:

(0.1965; 0.4235)

Доверительный интервал с уверенностью "на две трети" лежит (приблизительно) в пределах одной стандартной ошибки от среднего. Таким образом, если расходы на рекламу составят $40 000 (40 тысяч) в год, то с вероятностью 2/3 годовые продажи попадут в интервал:

( 4.2+0.31*40 – 1.62; 4.2+0.31*40 + 1.62)
или
(14.98; 18.22)
или
($14 980 000; $18 220 000).

Предыдущая часть

Posted by mazoo at 2:03 PM | Comments (4)

March 17, 2005

Темы для новых постов

- дискриминирующий монополист (price-discriminating monopolist);
- принцип Рикардо о сравнительном преимуществе;
- серия о финансовых показателях;
- риск и неопределенность.

Как вспомню, о чем еще хотела написать, то буду дописывать в этот пост.

В комментариях можете предлагать темы для разбора.

Posted by mazoo at 4:38 PM | Comments (3)

CMA 1 "Business Analysis" сдан!

Поздравьте меня , мои многочисленные, но молчаливые читатели . Вчера я сдала первый сертификационный экзамен CMA 1 "Business Analysis" из четырех, которые надо сдать для получения сертификации The Certified Management Accountant. Набрала 600 очков из 700 возможных, при проходном балле 500, что считаю неплохим результатом.

Советы для сдающих CMA 1 экзамен:
- Время весьма ограниченно (3 часа, 110 вопросов), отвечать надо в темпе. Так что, по возможности тренируйтесь на тестовых вопросах до посинения;
- Скрупулезным образом в подготовке придерживайтесь Learning Outcome Statements (LOS). Если вопрос или понятие там есть, то значит и вопрос по этому поводу может быть;
- Учитывая ограниченность времени, вычислительные задачи должны решаться за время, необходимое, чтобы стучать по калькулятору. Раздумывать времени нет.

Также хочу подвести для себя предварительный итог полезности данного блога:
- лично для меня он полезен. Большинство задач, разобранных здесь так или иначе поначалу были для меня непрозрачны. Зато после того, как пост написан, задача становится если не тривиальной, то вполне желанной на экзамене;
- надеюсь он полезен и для посетителей, не имеющих времени, возможности или соответствующей подготовки копаться в научных трактатах.

Таким образом, трату времени на этот и дублирующий англоязычный блоги считаю оправдывающей себя и буду вести их дальше.

Из обновок: я добавила категорию TO-DO, состоящую из одного поста с темами, на которые я хочу написать заметки. В комментариях можно предлагать свои темы и задачи.
А также в шапку я добавила картинку с акульим зубом, который я себе присудила за сданный экзамен. Скромность - мое сильное качество :-)

Итак, продолжаем учиться! :-)

Posted by mazoo at 3:23 PM | Comments (5)

March 3, 2005

Простая Линейная Регрессия, Часть 1

Первый экзамен CMA в разделе "Численные методы" (Quantitative methods), включает в себя задачи на линейную регрессию. Обычно в тестовых вопросах не требуется громоздких вычислений, так как необходимые параметры чаще всего уже даны в условии задачи, но необходимо увязать их между собой, что мы и сделаем на примере. На основании статистических наблюдений мы выведем функцию линейной регрессии, коэффициенты линейной регрессии, вычислим коэффициент детерминации, доверительные интервалы для параметров модели и т.д.

Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предшествующие годы были собраны следующие данные:

1. Найдем линейную теоретическую функцию регрессии y = a + bx и параметры линейной регрессии (коэффициенты регрессии) a и b, используя метод наименьших квадратов. Для этого надо решить следующую систему уравнений:

В нашем случае n=5 - число наблюдений и:

Подставив эти значения в вышеуказанные уравнения:

98 = 5a + 247b
5192 = 247a + 13327b

Решив эту систему относительно a и b, получим a=4,2 и b=0,31. Таким образом, ожидаемые продажи будут составлять 4.2 плюс 0.31 умножить на рекламный бюджет,

y = 4,2 + 0,31x

То есть, если расходы на рекламу на следующий год составят $40 000, то можно ожидать, что продажи составят $16 600 000.

На графике наблюдения и функция регрессии выглядят следующим образом:

a называется постоянным коэффициентом линейной регрессии, а b переменным коэффициентом линейной регрессии.

Итого, в Части 1 из статистических данных мы получили:
- теоретическую функцию регрессии,
- постоянный и переменный коэффициенты регрессии.

В Части 2 мы получим:
- средние квадратические отклонения ошибок коэффициентов регрессии,
- коэффициент детерминации r²,
- доверительные интервалы для оценки значимости параметров модели.

Posted by mazoo at 11:13 PM | Comments (2)