Учебный блог Mazoo

August 21, 2006

Ковариация, корреляция и вычисление дисперсии портфеля

Итак, перейдем к вычислению средней доходности, дисперсии и стандартного отклонения для портфеля акций, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций В. Мы предполагаем, что доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины R _A и R_B.

Среднее значение доходности акции А равно 10%, со стандартным отклонением 8,66%. Среднее значение доходности акции В равно 15%, со стандартным отклонением 12%.

Теперь нас интересует, каково будет среднее значение доходности портфеля и стандартное отклонение для портфеля. Вопрос средней доходности портфеля решается просто. А вот стандартное отклонение - показатель уровня изменчивости доходности портфеля, не отражает средней изменчивости доходности его компонентов (акций). Причина в том, что диверсификация снижает изменчивость, так как цены различных акций изменяются неодинаково. Во многих случаях снижение стоимости одной акции компенсируется ростом цены на другую.

Continue reading "Ковариация, корреляция и вычисление дисперсии портфеля"

Posted by mazoo at 12:43 PM | Comments (0)

August 16, 2006

Вычисление коэффициента вариации

Допустим ,что наш портфель ценных бумаг состоит на 60% из акций А и на 40% из акций В. Мы предполагаем, что доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины RA и RB.

Для начала, давайте вычислим среднее значение и дисперсию для акции А. Допустим, что акция А имеет следующее распределение вероятности для доходности:

Доходность                Вероятность
(-5%)                                  20%
10%                                    50%
20%                                    30%

Формула для среднего значения RA:

Вычислим: rA = (-5%)*0.2 + 10%*0.5 + 20%*0.3 = 10%

Формула для вычисления дисперсии RA:

 
Вычислим: = (-5-10)(-5-10)*0.2 + (10-10)(10-10)*0.5 + (20-10)(20-10)*0.3 = 75

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
= 8.66%

Предположим, что акция B имеет ожидаюмую доходность rB = 15%, со стандартным отклонением доходности 12%.

Стандартные отклонения доходности по каждой из акций A или B отражают степень рискованности инвестиции в данную акцию. Для того, чтобы сравнить степень риска различных акций с различной средней (ожидаемой) доходностью и различным стандартным отклонением доходности, используется понятие коэффициент вариации:
 
Таким образом, для акции A, коэффициент вариации равен: 8.66/10 = 0.866

                           для акции B, коэффициент вариации равен:  12/15 = 0.8
То есть, можно сказать, что акция B имеет меньший риск относительно акции A.

Posted by mazoo at 2:58 PM | Comments (0)

December 26, 2005

Симплекс метод, пример №2

В прошлом примере мы разобрали пошаговое решение простой задачи линейного программирования в каноническом виде с неотрицательной правой частью в неравенствах ограничений. Рассмотрим более общий случай:

4х1 + 15х2 + 12х3 + 2х4 -> min

2x2 + 3x3 + x4 >= 1
x1 + 3x2 + x3 - x4 >= 0
x1, x2, x3, x4 >=0

Приведем задачу в следующий вид:

-4х1 - 15х2 - 12х3 - 2х4 -> max

-2x2 - 3x3 - x4 <= -1
-x1 - 3x2 - x3 + x4 <= 0
x1, x2, x3, x4 >=0

Введем переменные S1, S2 >= 0, тогда задача примет стандартный (канонический) вид:

-4х1 - 15х2 - 12х3 - 2х4 -> max

0x1 - 2x2 - 3x3 - x4 + 1s1 + 0s2 = -1
-x1 - 3x2 - x3 + x4 + 0s1 + 1s2 = 0
x1, x2, x3, x4, s1, s2 >=0

Составим симплекс таблицу (кликните для увеличения):

1 шаг: В строке Cj выписываем коэффициенты целевой функции при переменных x1, x2, x3, x4, s1, s2. В строках 1,2 - коэффициенты при соответсвующих переменных из уравнений ограничений. В столбце RHS (right hand side), в строках 1, 2 пишем числа -1 и 0 из правой части уравнений ограничений. Переменные, образующие единичную матрицу (выделена бежевым) будем называть базисными, в данном случае s1 и s2.

2 шаг: Заполняем столбец CB строки 1, 2 коэффициентами целевой функции при базисных переменных, то есть 0 при s1 в строке 1 (пересечение строки 1 и столбца s1) и 0 при s2 в строке 2.

3 шаг: заполняем строку 3 (Zj) путем перемножения каждого элемента столбца CB на соответствующие элементы строк 1, 2 и сложением. То есть первый элемент строки Zj получается как: 0*0 + 0*(-1) = 0. Второй как 0*(-2)+0*(-3). В данном случае все элементы строки получаются равными 0. Аналогично получается 0 в столбце RHS.

4 шаг: строка 4 (Cj - Zj) получается почленным вычитанием элементов строки 3 (Zj) из элементов строки Cj (всегда из верхней строки на всех шагах).

5 шаг: Смотрим на элементы RHS выше строки Zj (у нас на строки 1 и 2). Если все элементы RHS неотрицательные, то идем на шаг 5". Если есть хоть один отрицательный элемент, идем на шаг 5'.

5' шаг: В каждой строке 1 и 2 вычисляем соотношения RHS/x, где x пробегает значения той же строки, что и RHS, столбцы x1, x2, x3, x4, s1, s2. Мы ищем МИНИМАЛЬНЫЙ СТРОГОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ среди получившихся чисел (то есть мы можем вычислять RHS/x только для х того же знака, что и RHS). В нашем случае:
Строка 1:
столбец х2: (-1)/(-2)=0,5; столбец х3: (-1)/(-3)=0,3333(3); столбец х4: (-1)/(-1)=1;
Строка 2: все соотношения равны нулю.
Минимальный строгоположительный элемент получился в столбце x3. Этот элемент назовем ведущим, у нас -3. В таблице он выделен зеленым цветом. Строка и столбец, содержащие этот элемент называются ведущими.
Идем на шаг 7.

7 шаг: Формируем строки 5, 6 путем деления ведущей строки на ведущий элемент и формирования единичного столбца на месте ведущего). Не забываем RHS.

Сделаем совместно еще одну итерацию. На предыдущем шаге мы заполнили строки 5, 6. Далее выполняем последовательно шаг 2, шаг 3 и шаг 4, получаем новую строку (Cj - Zj), у нас строка 8. Идем на шаг 5 - на второй итерации у нас RHS в строках 5, 6 >0 , значит идем на шаг 5".

5" шаг: Ищем в строке 8 (Cj - Zj) МАКСИМАЛЬНЫЙ СТРОГОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ элемент. Если такой есть, то ему соответствует ведущий стролбец (у нас x4). Идем на шаг 6. Если в (Cj - Zj) нет строгоположительных элементов, то идем в конец.

6 шаг: Ищем в ведущем столбце МИНИМАЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число из формулы (RHS/ведущий столбец). То есть, в данном случае, выбираем между 0,33/0,33=1 и 0,33/1,33=0,25. Найдя такое число, определяем ведущую строку, у нас строка 6. Пересечение ведущих столбца и строки дает нам ведущий элемент, в нашем случае 1,33 (выделен зеленым). Идем на шаг 7.

Конец: итерации продолжаются до тех пор (в случае, что оптимальное решение задачи существует), пока на шаге 5' или на шагах 5" и 6 мы не сможем отыскать положительного ведущего элемента.

В нашем примере:
Мы сформировали строки 9, 10, 11. RHS (строки 9, 10) неотрицательна, следовательно идем на шаг 5". Число 3,50 - максимальный строгоположительный элемент (стролбец s1), но положительного ведущего элемента в этой строке нет.
Тогда в строке Zj (у нас строка 11) в RHS - столбце получим значение целевой функции в оптимальной точке (x3, x4) = (0,25; 0,25) равное -3,5. Значения 0,25 и 0,25 получаем из RHS в строках 9, 10.

Posted by mazoo at 2:36 PM | Comments (22)

March 29, 2005

Что такое "кривая обучения" (learning curve)

Данная статья отвечает на вопросы, возникшие к предыдущей статье о кривых обучения.

Кривая обучения (learning curve) является графическим представлением модели, которая описывает зависимость производительности труда от объема выпуска.
В основе этой модели лежит предположение, что при совершении повторяющихся действий продуктивность повышается неким постоянным и предсказуемым образом, каждый раз, когда количество выпуска удваивается. Чаще всего модели кривой обучения рассматриваются в контексте продуктивности (производительности) труда, которую можно измерить как количество выпущенной продукции в единицу времени.

Таким образом, кривая обучения (learning curve) -- это функция, показывающая, как с увеличением выпуска уменьшается количество часов, требующихся для производства единицы продукции.

Для описания характера снижения трудозатрат на единицу продукции в зависимости от объема выпуска существуют используют следующие модели:

Первая модель:
1. Интегральное среднее время на единицу выпуска (cumulative average time per unit) уменьшается на определенный процент каждый раз, когда выпуск удваивается.
Если требуется 100 часов, чтобы произвести 1 деталь, тогда (для 80% кривой обучения) интегральное среднее время на единицу выпуска для производства двух деталей будет 100-20%=80 часов. Следовательно, общее время на производство 2 (двух) деталей будет 80*2=160 часов. Таким образом, на производство второй детали было затрачено только 160-100=60 часов.

Пример 1:
Объем выпуска         Общие затраты на труд
10                                $120
20                                $192

Найдем ставку кривой обучения:

Интегральные средние трудозатраты на единицу выпуска для 10 единиц продукции равны 120/10=12 $;
Интегральные средние трудозатраты на единицу выпуска для 20 единиц продукции равys 192/20=9.6 $;

Пусть x - ставка кривой обучения, тогда
12*x=9.6
x=0.8 (или 80%)
Следовательно, эта компания показывает 80% -ную кривую обучения в соответствии с первой моделью.

Вторая модель:
2. Время на производство дополнительной единицы продукции (incremental unit time) уменьшается на определенный процент каждый раз, когда выпуск удваивается.
Если требуется 100 часов, чтобы произвести 1 деталь, тогда (для 80% кривой обучения) время на производство дополнительной единицы продукции , то есть для производства второй детали будет 100-20%=80 часов. Следовательно, общее время на производство 2 (двух) деталей будет 100+80=180 часов.

Пример 2:
Объем выпуска         Общие затраты на труд
10                                $120
20                                $192

Найдем ставку кривой обучения:

Затраты на оплату труда для производства 10 единиц продукции составили 120 $;
Затраты на оплату труда для производства следующих десяти единиц продукции (от 10 до 20) составили 192-120=72 $;

Пусть x - ставка кривой обучения, тогда
120*x=72
x=0.6 (60%)
Следовательно, эта компания показывает 60% -ную кривую обучения в соответствии со второй моделью.

Posted by mazoo at 4:35 PM | Comments (4)

March 26, 2005

Простая Линейная Регрессия, Часть 2

Первая Часть

В Части 1, мы получили уравнение линейной регрессии для следующей задачи:

Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предшествующие годы была собрана следующая статистика.

Мы получили уравнение линейной регрессии:

y = f(x) = 4.2 + 0.31x

Пусть y' есть среднее арифметическое результатов наблюдений, т.е.

y' = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅)/5

1. Оценка дисперсии случайной ошибки (оценка дисперсии годового объема продаж) S² равна:

где n = 5 число наблюдений, k = 1 число независимых переменных в модели линейной регрессии (у нас только x).
n-k-1 называют количеством степеней свободы.

Получаем S² = 2.624

Величину S называют стандартной ошибкой регрессии, она равно квадратному корню из величины S². В нашем примере, стандартная ошибка регрессии
S = 1.62

2. Дисперсия регрессионного коэффициента a равна Sa²:

Sa² = 6.216

Sa - стандартная ошибка регрессионного коэффициента a равна квадратному корню из дисперсии a , то есть
Sa = 2.49

3. Дисперсия регрессионного коэффициента b равна Sb²:

Sb² = 0.002332

Sb - стандартная ошибка регрессионного коэффициента b равна квадратному корню из дисперсии b , то есть
Sb = 0.0483

4. Коэффициент детерминации r²:

r² = 0.9328

r - коэффициент корреляции, r = 0.9658

Коэффициент корреляции показывает силу линейной зависимости между зависимой переменной х и независимой переменной у. Значение r=1 (-1) свидетельствует о прямой (обратной) линейной зависимости между x и y. Коэффициент корреляции r = 0 свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между переменными.

Коэффициент детерминации r² интерпретируется как процент дисперсии зависимой переменной y, объясненный дисперсией независимой переменной x. То есть дисперсия годовых продаж равна 93.28% от дисперсии годовых расходов на рекламу.

5. Доверительный интервал для значений параметра b (совершенно аналогично для других параметров):

Если мы хотим построить 90%-ный доверительный интервал для b, нам нужно табличное t- значение статистики Стьюдента (t - критерий Стьюдента):
t_{(5-1-1,(1-0.90)/2)} = t_{(3 , 0.05)} =2.35

Таким образом, фирма может быть на 90% уверена, что значение параметра b будет в пределах доверительных границ:

(0.1965; 0.4235)

Доверительный интервал с уверенностью "на две трети" лежит (приблизительно) в пределах одной стандартной ошибки от среднего. Таким образом, если расходы на рекламу составят $40 000 (40 тысяч) в год, то с вероятностью 2/3 годовые продажи попадут в интервал:

( 4.2+0.31*40 – 1.62; 4.2+0.31*40 + 1.62)
или
(14.98; 18.22)
или
($14 980 000; $18 220 000).

Предыдущая часть

Posted by mazoo at 2:03 PM | Comments (4)

March 3, 2005

Простая Линейная Регрессия, Часть 1

Первый экзамен CMA в разделе "Численные методы" (Quantitative methods), включает в себя задачи на линейную регрессию. Обычно в тестовых вопросах не требуется громоздких вычислений, так как необходимые параметры чаще всего уже даны в условии задачи, но необходимо увязать их между собой, что мы и сделаем на примере. На основании статистических наблюдений мы выведем функцию линейной регрессии, коэффициенты линейной регрессии, вычислим коэффициент детерминации, доверительные интервалы для параметров модели и т.д.

Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предшествующие годы были собраны следующие данные:

1. Найдем линейную теоретическую функцию регрессии y = a + bx и параметры линейной регрессии (коэффициенты регрессии) a и b, используя метод наименьших квадратов. Для этого надо решить следующую систему уравнений:

В нашем случае n=5 - число наблюдений и:

Подставив эти значения в вышеуказанные уравнения:

98 = 5a + 247b
5192 = 247a + 13327b

Решив эту систему относительно a и b, получим a=4,2 и b=0,31. Таким образом, ожидаемые продажи будут составлять 4.2 плюс 0.31 умножить на рекламный бюджет,

y = 4,2 + 0,31x

То есть, если расходы на рекламу на следующий год составят $40 000, то можно ожидать, что продажи составят $16 600 000.

На графике наблюдения и функция регрессии выглядят следующим образом:

a называется постоянным коэффициентом линейной регрессии, а b переменным коэффициентом линейной регрессии.

Итого, в Части 1 из статистических данных мы получили:
- теоретическую функцию регрессии,
- постоянный и переменный коэффициенты регрессии.

В Части 2 мы получим:
- средние квадратические отклонения ошибок коэффициентов регрессии,
- коэффициент детерминации r²,
- доверительные интервалы для оценки значимости параметров модели.

Posted by mazoo at 11:13 PM | Comments (2)

January 19, 2005

График кривой обучения (learning curve)

Рассмотрим 75% -ную модель со следующими исходными данными:

F(x) = 0.75^( ln(x/80) /ln (2) ) * 56 * x, где

Итого получаем следующий график:

Posted by mazoo at 5:06 PM | Comments (0)

January 18, 2005

Пример задачки на симплекс-метод

5X + 7Y - > max
2X + 4Y < = 100
3X + 3Y < = 90,
X , Y > = 0

Введем переменные S1, S2 >= 0, тогда задача примет стандартный (канонический) вид:
5X + 7Y +0S1 + 0S2 - > max
2X + 4Y +1S1 + 0S2 = 100
3X + 3Y +0S1 + 1S2 = 90,
X , Y, S1, S2 > = 0

Рассмотрим решение этой задачи, используя симплекс таблицу. Данное решение подходит для всех случаев, когда правая часть уравнений ограничений неотрицательна (90 и 100 в нашем примере). Если правая честь уравнений ограничений, после приведения задачи к каноническому виду, содержит отрицательные числа, то используйте вариант решения, разобранный во втором примере.

Составим симплекс-таблицу:

Posted by mazoo at 5:32 PM | Comments (52)